Рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник APK  — осе­вое се­че­ние ко­ну­са

По тео­ре­ме си­ну­сов: От­сю­да:

Длин­на OH равна рас­сто­я­нию от цен­тра сферы до точки C, тогда:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис). Плос­кость рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC (AB  =  AC) и не ле­жа­щая на ней точка P об­ра­зу­ют тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. По­сколь­ку все её бо­ко­вые рёбра равны, точка H (в неё па­да­ет вы­со­та пи­ра­ми­ды) яв­ля­ет­ся цен­тром опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABM найдём AB по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC:

Найдём те­перь ра­ди­ус R опи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка PHC по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём PC:

Ответ:

Пусть дан­ные за­да­чи изоб­ра­же­ны на ри­сун­ке (см. рис). Плос­кость рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC и не ле­жа­щая на ней точка M об­ра­зу­ют тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду. По­сколь­ку все рас­сто­я­ния от точки M до сто­рон тре­уголь­ни­ка равны, точка H (в неё па­да­ет вы­со­та пи­ра­ми­ды) яв­ля­ет­ся цен­тром впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC.

В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABK найдём BK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Найдём пло­щадь S тре­уголь­ни­ка ABC:

Те­перь найдём ра­ди­ус r впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ABC:

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MHK по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра найдём MH:

Ответ: 8 см.

Тра­пе­ция опи­са­на, зна­чит:

Най­дем пло­щадь тра­пе­ции:

Вы­ра­зим ра­ди­ус окруж­но­сти через эту пло­щадь:

Те­перь рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник AON. В нём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Осе­вое се­че­ние за­дан­но­го ко­ну­са  — это рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник AOB, впи­сан­ный в по­лу­окруж­ность с цен­тром O и ра­ди­у­сом R. Так как вы­со­та ко­ну­са OO₁ по усло­вию пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию шара, то ее длина и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са O₁B  =  r, об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са OB  =  L  =  R.

Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са по фор­му­ле равна а пло­щадь по­верх­но­сти шара по­лу­ча­ем по фор­му­ле

По усло­вию от­сю­да тогда в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OO₁B имеем по свой­ству пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков. Тогда а зна­чит, тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний. Най­дем вы­со­ту OO₁ по фор­му­ле вы­со­ты для пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков

Ответ:

Про­ведём пря­мую CD, пер­пен­ди­ку­ляр­ную плос­ко­сти α, тогда За­ме­тим, что ги­по­те­ну­за равна 25 см, так как 7, 24, 25  — Пи­фа­го­ро­ва трой­ка. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC можно найти, как или как где CE  — вы­со­та, про­ведённая к ги­по­те­ну­зе AB. Имеем:

Найдём те­перь ис­ко­мое рас­сто­я­ние CD из тре­уголь­ни­ка CDE:

Ответ: 3,36 см.

Про­ведём пря­мую CD пер­пен­ди­ку­ляр­ную плос­ко­сти α, тогда За­ме­тим, что вто­рой катет равен 9 см, так как 9, 12, 15  — Пи­фа­го­ро­ва трой­ка. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC можно найти, как или как где CE  — вы­со­та, про­ведённая к ги­по­те­ну­зе AB. Имеем:

Найдём те­перь ис­ко­мое рас­сто­я­ние CD из тре­уголь­ни­ка CDE:

Ответ:

Пусть эта точка S, а SO  — рас­сто­я­ние от этой точки до плос­ко­сти квад­ра­та. Оче­вид­но, что эта точка об­ра­зу­ет пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду. Диа­го­наль этого квад­ра­та равна Те­перь рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ASO: Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

Ответ:

Пусть эта точка S, а от­ре­зок SO  — рас­сто­я­ние от этой точки до плос­ко­сти квад­ра­та. Оче­вид­но, что эта точка об­ра­зу­ет пра­виль­ную четырёхуголь­ную пи­ра­ми­ду, тогда, из тре­уголь­ни­ка ASO  — пря­мо­уголь­но­го, найдём по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра AO:

Тогда диа­го­наль AC квад­ра­та ABCD равна Вос­поль­зу­ем­ся со­от­но­ше­ни­ем сто­ро­ны квад­ра­та с его диа­го­на­лью, по­лу­чим, что сто­ро­на равна

Ответ: 8 см.

Осе­вое се­че­ние ко­ну­са пред­став­ля­ет собой рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем 2r и углом 30° при вер­ши­не, зна­чит, угол при ос­но­ва­нии равен По тео­ре­ме си­ну­сов бо­ко­вая сто­ро­на тре­уголь­ни­ка, то есть об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са, равна:

Ра­ди­ус шара, опи­сан­но­го около ко­ну­са, равен ра­ди­у­су круга, опи­сан­но­го около осе­во­го се­че­ния этого ко­ну­са. Най­дем этот ра­ди­ус также по тео­ре­ме си­ну­сов:

от­ку­да

Ясно, что центр шара лежит на оси ко­ну­са, при­чем на от­рез­ке SH, по­сколь­ку тре­уголь­ник ABS ост­ро­уголь­ный. Зна­чит, рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са равно:

Ответ: